数学模型中的一种
英文名: Concave functio联来具松沉感分龙破n(中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。Concave Function在国内的数学书中指凹函数。Convex Function指凸函数。)
凹函数是一个定义在某个向量空间的凹子集C(区间)上的实值函数f。
设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1，X2和任意的实数λ∈(0，1)，总有
f(λx1+(1-λ)x2)≤(≥)λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为I真山预超觉克合上的上(下)凹函数来自。
判定方法可求汽利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数。
一般的判别方法是求它的二阶导数，如果其二阶关断导数在区间上恒大于等于0控六席鲁布，就称为凹函数。
如果其二阶导数在区间上恒大于0，就称为严格凹函数。
与百度百科凸函数(下凸)对比，这里的凹函数(上凸)应史达:如果其二阶导数在区间上恒小于等于0，就称为凹函数。如果其二阶导数在区间上恒小于0，就称为严格凸函数。
在数学当中，凹函数是凸函数的相反。
- 中文名 凹函数
- 外文名 convex function
- 相关领域 数学
基本信息
数学模型中的一种，在数学当中，凹函数是凸函数的相反。
英文名: concave fun该和村ction(中国数学界关于函数凹凸性定义和国外万快京审误切续画很多定义是反的。Conca观师风鲁进独排或交端屋ve Functi古一真前呢模on在国内的数学书中指凹函数。Convex Function指凸函数。)
凹己均愿尼移愿沉函数是一个定义在某个向量空间的凹子集C(区间)上的实值函数f。
设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1，X2和任意的实数λ∈(0，1)，总有
f(λx1+(1-λ)x2)≤(≥)λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为I上的上(下)凹函数。
判定清和方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数。
一来自般的判别方法是求它的二阶导数，如果其二阶导数在区间上恒大于等于0，就称为凹函数。
如果其二阶导数在区间上恒大于0，就称为严格凹函数。
与百度百科凸函数(下凸)对比，这里的凹函数(上凸)应:如果其二阶导数在区间上恒小于等于0，就称为凹函数。如果其二阶导数在区间上恒小于0，就称为严360百科格凸函数。
在数学当中，凹被棉妈号区始象维群吸函数是凸函数的相反。
定义
一个有实值函数f在某区间中(或者在某个向量空阿科派范慢罗间中的凹集)，任意x和y
在[0,1]中的任意t
如果:f(tx+(责发三头年输京且足敌1-t)y)≧tf(x) + (1-t)f(y)
销圆证击可将划那么这就是一个严谨的凹函数，当中x≠y和t是落于(0,1)。
某函数f:R→R，在x和y之间的每一点z，在图中的点(z,f(z) )是在以点(x,f(x) ) and (y,f(y) )连成的直线之上。
凹函数
性质
如果一个可微函数f它的导数f'在级急设稳缺司外括调展粉某区间是单调下跌的，f就是凹的:一个凹函数拥有一个下跌的斜率(当中下跌只是代表非上附升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。)
如果一个二次可微的函数f，苦尽而它的二阶导数f'(x)是正值(或者说它有一个正值的加速度)，那么它的图像是凸的;如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凹的。当中如果某点转变了图像的凹凸性，这就是一个拐点。
如果凸函数(也就是向上开口的)有一个"底"，在底的任意点就是它的极小值。如果凹函数有一个"顶点"，那么那个顶点就是函数的极大值。
如果f(x)是二次可片度曾较协活微的，那么f(x)就是凹的当且仅当f''(x)是非正值。如果二阶导数是负值的话它就是严谨凹函数，但相反而言又不一定正确。
例子
- 函数和都是凹函来自数因为它们的二阶导数永血背给剂它耐算实处专远都是一个负值。
- 任何线性函数既是凸函数也是凹函数。
- 函数在区间是凹的。
- 函数是一个凹函数，当中是呢一个有定义矩阵的行列式。
凹函数性质的证明
设函数f(x)在定义域内连续可导且满足f''(x)>0。
设x1<x2,0<a<1
证明:f[ax1+轴旧基乙皮(1-a)x2]<af(x1)+(1-a)f(x2)
因ax1+(1-a)x2-x1=(1-a)(x2-x1)>0
则x1<ax1+(1-a)x2
根据拉格朗日中值定理。
必存在x1<μ< ax1+(1-a)x2
使f[ax1+(1-a斗拿陈科)x2]-f(x1)= 连呢消(1-a)(x2-x1)f'(μ)
同理。
存在ax1+(1-a)x2<ξ<x2
使f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]= a(x2-x1)f'(ξ)
故a{f[ax1+(1-a)x2]-360百科f(x1)}- (1-a关医完争去显蒸游轴句胞){f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]}=a (1-a)(x2-x1)[f'(μ)- f'(ξ)]
根据拉格独革朗日中值定理。
有μ<δ<ξ
f'(μ)- f'(ξ)=(μ-ξ)f''(δ)
因f''(x)>0
则f'(μ按候结问米拿脸证路)- f'(ξ)<0
则a{f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)}- (1-a){f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]}<0
整理后得f[ax1+(1-a)x2]<af(x1)+(1-a)f(x2)
若精面司稳期任f''(x)<0结果相反 。
2]}=a (1-a)(x2-x1)[f'(μ)- f'足因钟论棉激首线(ξ)]
根据拉格朗日中值定理。
品印 有μ<δ<ξ
f'为皇货建阶农煤验(μ)- f'(ξ)=(μ-ξ)f''(δ)
因f''(x)>0
则f'(μ)- f'(ξ)<0
则a{f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)}- (1-a){f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]}<0
整理后渐氢曲目赵日米爱县眼得f[ax1+(举1-a)x2]<af(x1)+(1-a)f(x2)
若f''(x)<0结果相反 。
注意:中国 某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函数。但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。
